“CAD怎么做.....加大难度？”一题的解题分析过程

yczsp

这是较早CXF283563版大出的一道题，较少有人做出，受CXF283563版大委托，现将其解题分析过程列出，欢迎大家讨论发表意见。

题目已知条件：1、四小圆半经相等；
                         2、四小圆与其周围的三直线相切，且同时与大圆相切；
                         3、大圆与四条倾斜直线（四小圆的切线）相切；
                         4、外框为正方形；
                         5、大圆位于正方形中心。


[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 04:22 编辑 ]

yczsp

图2

如图2所示，假设：两个小圆半经相等，与正方形一条边相切，且与中心大圆相切。
因AE＝AD，EM＝DN＝半经R，故AM＝AN。
而AB＝AC，故，直角△CAN≌直角△ABM
故，∠CAN＝∠BAM
又因，EA⊥AD，所以，∠CAB＝90°
结论一：任意大小半经相等的两小圆，如果与正方形边相切且与中心大圆相切，则大小圆的连心线必然垂直。
由此，也让我们知道，若存在满足同样条件的4个小圆，则4小圆将均布，均布中心为大圆（或正方形）的中心。

[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 03:36 编辑 ]

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图3

图4

如图3所示，假设：大小圆的公切线分别为EF和DG。而按原题图示要求，这两条线应该重合，即变为如图4所示的DE线（与三圆均相切）。
在图4中，因ED⊥AB，EC⊥ED；
                又据结论一，AC⊥AB；
               故，四边形ADEC为矩形，则，AD＝CE。
结论二：2个半经相等的小圆若与正方形一边相切及与中心大圆相切，且大小圆公切于同一直线，则大小圆半经相等。

[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 03:55 编辑 ]

yczsp

图5

如图5所示，假设3个半经相等的圆的公切线DE经过正方形的一角点E。
因，BC⊥EC；BD ⊥ ED；BC＝BD，EB为公共边
则，直角△EBC ≌ 直角△ EBD，故，∠CEB＝∠DEB
同理，直角△EDB ≌ 直角△ EDA，故， ∠DEA＝∠DEB
而， ∠AEC＝45°，故， ∠CEB＝∠DEB＝ ∠DEA＝15 °
所以， ∠CED＝30 °， ∠GEH＝60 °
而，∠FEH＝ ∠FEG，故， ∠FEG ＝30 °
因，FA∥ED，故，FA与水平线夹角也为30 °
结论三：**圆圆心与正方形角点连线EF角度为30 °，连心线AF水平角度为30 °。

[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 04:16 编辑 ]

yczsp

根据以上结论三，便可以轻松作图了，步骤如下：
1、画AB及CD线，二线交点即为圆的圆心；
2、以“TTR”方式画圆E（半经为E点到左边线的距离）；
3、复制该圆至中心（得中心圆A）；如图6所示。
图6

4、环形阵列另外三个圆（阵列中心为A点）（略）；
5、画四条公切线（略）。

[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 04:13 编辑 ]

yczsp

最后完成的结果如下图所示，所有圆的半经为：18.30。


[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 04:11 编辑 ]

yczsp

以上仅为个人理解，可能有误，也可能存在其它更为简单的理解和作图方法，欢迎大家讨论发表意见及批评指正！

[ 本帖最后由 yczsp 于 2008-7-15 04:26 编辑 ]

han912xue

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